Question

（理）已知f(x)=x+

m

x

(m∈R)，
（1）若m≤2，求函數g(x)=f(x)-lnx在區間[

1

2

，2]上的最小值；
（2）若函數y=log

1

2

[f(x)+2]在區間[1，+∞]上是減函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，根據m≤2，可分類討論：若m≤-

1

4

時，g′(x)≥0，g(x)是[

1

2

，2]上的增函數，所以g(x)min=g(

1

2

)；若-

1

4

≤m≤2時，由g'（x）=0，得 x1=

1

2

-

m+ 1 4

＜

1

2

，x2=

1

2

+

m+ 1 4

∈[

1

2

，2]
從而可知g（x）_min=g（x₂），故可求；
（2）由條件得到在區間上是增函數且f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，利用分離參數法及函數的單調性可求實數m的取值范圍．

解答：（理）解：（1）g(x)=x+

m

x

-lnx，則g′(x)=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

①若m≤-

1

4

時，g′(x)≥0，g(x)是[

1

2

，2]上的增函數，
所以g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2…（3分）
②若-

1

4

≤m≤2時，由g'（x）=0
得到 x1=

1

2

-

m+ 1 4

＜

1

2

，x2=

1

2

+

m+ 1 4

∈[

1

2

，2]
且x∈[

1

2

，x2]時，g′(x)≤0，x∈[x2，2]時，g'（x）≥0，
所以g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)；  
 …（6分）
（2）由條件得到在區間上是增函數且f（x）+2＞0在區間[1，+∞）上恒成立，f′(x)=1-

m

x2

≥0?m≤x2在區間上恒成立，得到m≤1，…（9分）f（x）+2≥0在區間上恒成立，得到f（1）+2＞0，即m＞-3，
所以實數m的取值范圍是：（-3，1]…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查利用導數求函數的最值，考查函數的單調性，有一定的綜合性．