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（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

設為定義域為的函數，對任意，都滿足：，，且當時，

（1）請指出在區間上的奇偶性、單調區間、最大（小）值和零點，并運用相關定義證明你關于單調區間的結論；

（2）試證明是周期函數，并求其在區間上的解析式．

解：（1）偶函數；.………………………………………………………………………1分

最大值為、最小值為0；.…………….……………………………………………………1分

單調遞增區間：單調遞減區間：；...…………………………………………1分

零點：．.…………………………..……………………………………………………1分

單調區間證明：

當時，

設，，

證明在區間上是遞增函數

由于函數是單調遞增函數，且恒成立，

所以，，

所以，在區間上是增函數．…………………………………………………….4分

證明在區間上是遞減函數

【證法一】因為在區間上是偶函數．

對于任取的，，有

所以，在區間上是減函數． …………………………………………………..4分

【證法二】設，由在區間上是偶函數，得

以下用定義證明在區間上是遞減函數 ………………………………………..4分

（2）設，，

所以，2是周期．        ……………………………………………………………4分

當時，，

所以………………………………………….4分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：2011屆上海市閘北區高三第一學期期末數學理卷 題型：解答題

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．
已知數列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數），且．
（1）求數列{}和{}的通項公式；
（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年上海市閘北區高三第一學期期末數學理卷 題型：解答題

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

已知數列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數），且．

（1）求數列{}和{}的通項公式；

（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結論．

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年上海市閘北區高三第一學期期末數學理卷 題型：解答題

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

設為定義域為的函數，對任意，都滿足：，，且當時，

（1）請指出在區間上的奇偶性、單調區間、最大（�。┲岛土泓c，并運用相關定義證明你關于單調區間的結論；

（2）試證明是周期函數，并求其在區間上的解析式．

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

（滿分20分）本題有2小題，第1小題12分，第2小題8分．

已知數列{}和{}滿足：對于任何，有，為非零常數），且．

（1）求數列{}和{}的通項公式；

（2）若是與的等差中項，試求的值，并研究：對任意的，是否一定能是數列{}中某兩項（不同于）的等差中項，并證明你的結論．

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