Question

若函數h(x)滿足
（1）h(0)=1，h(1)=0；
（2）對任意，有h(h(a))=a；
（3）在（0,1）上單調遞減。則稱h(x)為補函數。已知函數
（1）判函數h(x)是否為補函數，并證明你的結論；
（2）若存在，使得h(m)=m，若m是函數h(x)的中介元，記時h(x)的中介元為x_n，且，若對任意的，都有S_n< ,求的取值范圍；
（3）當=0，時，函數y= h(x)的圖像總在直線y=1-x的上方，求P的取值范圍。

Answer 1

見解析

（1）函數是補函數。證明如下：
①；
②；
③令，有，
因為，所以當時，，所以在（0，1）上單調遞減，故函數在（0，1）上單調遞減。
（2）  當，由，得： 
①當時，中介元；
②當且時，由（*）可得或；
得中介元，綜上有對任意的，中介元（）
于是，當時，有=
當n無限增大時， 無限接近于， 無限接近于，故對任意的，成立等價于，即 ；
（3）  當時， ，中介元是
①當時， ，中介元為，所以點不在直線y=1-x的上方，不符合條件；
②當時，依題意只須在時恒成立，也即在時恒成立，設，，則，
由可得，且當時，，當時，，又因為=1，所以當時， 恒成立。
綜上：p的取值范圍為（1，+）。
【點評】本題考查導數的應用、函數的新定義，函數與不等式的綜合應用以及分類討論，數形結合的數學思想.高考中，導數解答題一般有以下幾種考查方向：一、導數的幾何意義，求函數的單調區間；二、用導數研究函數的極值，最值；三、用導數求最值的方法證明不等式.來年需要注意用導數研究函數最值的考查.