Question

在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規定機動車相互之間的距離d（米）與車速v（千米/小時）需遵循的關系是d≥

1

2500

av2（其中a（米）是車身長，a為常量），同時規定d≥

a

2

．
（1）當d=

a

2

時，求機動車車速的變化范圍；
（2）設機動車每小時流量Q=

1000v

a+d

，應規定怎樣的車速，使機動車每小時流量Q最大．

Answer 1

分析：（1）把d=

a

2

代入d≥

1

2500

av2，解這個關于v的不等式即可；
（2）根據d滿足的不等式，以最小車距代替d，求此時Q的最值即可．

解答：解：（1）

a

2

=

1

2500

av²，v=25

2

，∴0＜v≤25

2

，（6分）
（2）當v≤25

2

時，Q=

1000v

3 2 a

，Q是v的一次函數，v=25

2

，Q最大為

50000 2

3a

，
當v＞25

2

時，Q=

1000

a( 1 v + v 25000 )

≤

25000

a

，
∴當v=50時Q最大為

25000

a

．（12分）

點評：本題考查函數建模和基本不等式的應用．本題中對車距d有兩個限制條件，這兩個條件是在不同的車速的情況下的限制條件，解題中容易出現的錯誤是不能正確的使用這兩個限制條件對函數的定義域進行分類，即在車速小于或等于25

2

時，兩車之間的最小車距是

a

2

，當車速大于25

2

時，兩車之間的最小車距是

1

2500

av2．