Question

已知函數f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

（x∈R），其中a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a≠0時，求函數f（x）的單調區間與極值．

Answer 1

（I）當a=1時，f(x)=

2x

x2+1

，f(2)=

4

5

．
又f′(x)=

2(x2+1)-2x.2x

(x2+1)2

=

2-2x2

(x2+1)2

，f′(2)=-

6

25

．
所以，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-

4

5

=-

6

25

(x-2)，即6x+25y-32=0．

（II）f′(x)=

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)

(x2+1)2

=

-2(x-a)(ax+1)

(x2+1)2

．
由于a≠0，以下分兩種情況討論．
（1）當a＞0時，令f'（x）=0，得到x1=-

1

a

，x2=a．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區間(-∞，-

1

a

)，（a，+∞）內為減函數，在區間(-

1

a

，a)內為增函數．
函數f（x）在x1=-

1

a

處取得極小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．
函數f（x）在x₂=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
（2）當a＜0時，令f'（x）=0，得到x1=a，x2=-

1

a

．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以f（x）在區間（-∞，a），(-

1

a

，+∞)內為增函數，在區間(a，-

1

a

)內為減函數．
函數f（x）在x₁=a處取得極大值f（a），且f（a）=1．
函數f（x）在x2=-

1

a

處取得極小值f(-

1

a

)，且f(-

1

a

)=-a2．