Question

如圖1，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OABC的頂點B在軸的正半軸上，O為坐標原點.現將正方形OABC繞O點按順時針方向旋轉.

　(1)當點A第一次落到軸正半軸上時，求邊BC在旋轉過程中所掃過的面積；

　（2）若線段AB與軸的交點為M（如圖2）,線段BC與直線的交點為N.設的周長為,在正方形OABC旋轉的過程中值是否有改變？并說明你的結論；

(3)設旋轉角為，當為何值時，的面積最小？求出這個最小值， 并求出此時△BMN的內切圓半徑.

      

 

Answer 1

【答案】

（1）S=  

(2) 的周長為定值2. （3）.

【解析】此題主要考查了一次函數的綜合應用以及根的判別式、全等三角形的判定與性質、扇形面積求法等知識，利用圖形旋轉的變化規律得出對應邊之間關系是解題關鍵

（1）根據正方形的性質得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=，再利用S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′求出即可；

（2）首先延長BA交直線y=-x于E點，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，進而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，進而得出l的值不變；

（3）設MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=2，得出m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，即可得出m的取值范圍，即可得出，△OMN的面積最小值，再利用直角三角形內切圓半徑求法得出答案即可

解：（1）設旋轉后C在、B在、A在.

S= ………….4分

(2)延長BA交直線于E點，在與中，

 所以所以

又所以

所以故的周長為定值2.…..10分

（3）因為,

設由（2）知，在中，

因為  ,所以，得：

因為，所以（舍去）或

所以的最小值為.                   …….13分

此時△=0 ∴ ∴A為ME的中點.

又因為所以OA是的平分線，

所以.     ……15分

在中，設的內切圓半徑為r,所以    . ……18分