Question

已知橢圓

x2

m

+

y2

n

=1，常數m、n∈R⁺，且m＞n．
（1）當m=25，n=21時，過橢圓左焦點F的直線交橢圓于點P，與y軸交于點Q，若

QF

=2

FP

，求直線PQ的斜率；
（2）過原點且斜率分別為k和-k（k≥1）的兩條直線與橢圓

x2

m

+

y2

n

=1的交點為A、B、C、D（按逆時針順序排列，且點A位于第一象限內），試用k表示四邊形ABCD的面積S；
（3）求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）求出橢圓的左焦點，設出P、Q坐標，利用若

QF

=2

FP

，和P在橢圓上，求出P、Q坐標，推出直線PQ的斜率；
（2）寫出直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx與橢圓方程聯立，求出A坐標，然后求出四邊形ABCD的面積S；
（3）化簡S的表達式，S=

4mn

n k +mk

，利用g(k)=mk+

n

k

(k≥1)的單調性，求出函數S的最大值．

解答：解：（1）∵m=25，n=21，∴

x2

25

+

y2

21

=1的左焦點為F(-2，0)．（2分）
設滿足題意的點為P（x₀，y₀）、Q（0，t）．又

QF

=2

FP

，
∴（-2，-t）=2（x₀+2，y₀），即

x0=-3 t=-2y0

．（4分）
由點P(x0，y0)在橢圓上，得

9

25

+

y 2 0

21

=1，于是y0=±

4 21

5

．（5分）
∴kPQ=kQF=

t

2

=-y0=±

4 21

5

．（6分）
（2）∵過原點且斜率分別為k和-k（k≥1）的直線l₁：y=kx，l₂：y=-kx關于x軸和y軸對稱，
∴四邊形ABCD是矩形．（8分）
設點A（x₀，y₀）．
聯立方程組

x2 m + y2 n =1 y=kx

，得x2=

mn

n+mk2

.于是x₀是此方程的解，故

x

2 0

=

mn

n+mk2

.（10分）
∴S=4x0y0=4k

x

2 0

=

4mnk

n+mk2

 (k≥1)．（12分）
（3）由(2)可知，S=

4mnk

n+mk2

=

4mn

n k +mk

．
設g(k)=mk+

n

k

(k≥1)，則g（k）在[1，+∞）上是單增函數．（13分）
理由：對任意兩個實數k₁、k₂∈[1，+∞），且k₁＜k₂，則g(k1)-g(k2)=mk1+

n

k1

-(mk2+

n

k2

)
=m(k1-k2)+n(

1

k1

-

1

k2

)=(k1-k2)

mk1k2-n

k1k2

．（14分）
∵m＞n＞0，k₂＞k₁≥1，∴k₁k₂＞1，mk₁k₂-n＞0．又k₁-k₂＜0，
∴(k1-k2)

mk1k2-n

k1k2

＜0，即g(k1)-g(k2)＜0．
∴g（k）在[1，+∞）上是單增函數，于是g（k）_min=g（1）=m+n．（16分）
∴S=

4mn

n k +mk

≤

4mn

m+n

(當且僅當k=1時，等號成立)．
∴Smax=

4mn

m+n

．（18分）

點評：本題考查直線的斜率，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查學生分析問題解決問題的能力，是難度較大題目．