Question

(本題滿分14分)
已知正項數列滿足：對任意正整數，都有成等差數列，成等比數列，且
（Ⅰ）求證：數列是等差數列；
（Ⅱ）求數列的通項公式；
(Ⅲ) 設如果對任意正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知，得 ①，  ② . 由②得③.
將③代入①得，對任意，有
即
是等差數列.                                                4分
（Ⅱ）設數列的公差為，
由經計算，得


                                  9分
（Ⅲ）由（1）得

不等式化為
即
設，則對任意正整數恒成立．
當，即時，不滿足條件；
當，即時，滿足條件；
當，即時，的對稱軸為，關于遞減，
因此，只需 解得
綜上，                                                14分

略