Question

（2011•延慶縣一模）已知函數 f(x)=ax(x-2)2-a+1

，&(x∈R)

．
（Ⅰ）若a≠0，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）有極大值

14

9

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數得：f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2），f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0得單調增區間，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0得單調減區間，需對a進行討論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，f(

2

3

)=

14

9

；當a＜0時，f(2)=

14

9

，故可得解．

解答：解：（Ⅰ）求導函數得：f′（x）=a（x-2）²+2ax（x-2）=a（3x-2）（x-2）
當a＞0時，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函數的單調增區間為(-∞，

2

3

)，(2，+∞)，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函數的單調減區間為(

2

3

，2)
當a＜0時，f′（x）=a（3x-2）（x-2）＞0，
∴函數的單調增區間為(

2

3

，2)，
f′（x）=a（3x-2）（x-2）＜0，
∴函數的單調減區間為(-∞，

2

3

)，(2，+∞)，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a＞0時，函數在x=

2

3

時，取得極大值，所以f(

2

3

)=

14

9

，
∴

2

3

a×

16

9

-a+1=

14

9

，
∴a=3
當a＜0時，函數在x=2時，取得極大值，
所以f(2)=

14

9

，
∴-a+1=

14

9

，
∴a=-

5

9

點評：本題以函數為載體，考查函數在某點取得極值的條件、考查學生會利用導函數的正負確定函數的單調區間，屬于基礎題．