Question

如圖直角梯形CBHQ，CB＝2，BH＝4，HQ＝3，BH的中點為原點O，一曲線過Q點且曲線上任意一點到B、H的距離之和都相等．

(1)求曲線方程；

(2)設曲線上任意一點P，求∠BPH的范圍；(3)曲線上的弦以C為中點的有幾條？并證明你的結論．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)由題意曲線為橢圓，且過Q點 　　∵BH＝4　　O為中點　　∴c＝2　　又∵QB＋QH＝8 　　∴a＝4b2＝12　　所求方程為＋＝1 　　解(2)設曲線上任意一點P 　　則|PB|＋|PH|＝8|PB|·|PH|≤16 　　又cosθ＝＝＝－1≥ 　　∵cosθ在[0，π]上單調遞減 　　∴θ∈[0，] 　　解(3)有一條 　　證明：設過C(－2，2)的直線斜率為k． 　　當k＝0和k不存在時，C不是弦的中點， 　　再設過C的直線方程為y＝k(x＋2)＋2 　　代入橢圓方程＋＝1 　　得(3＋4k2)x2＋16k(1＋k)x＋16(1＋k)2－12×4＝0 　　∵3＋4k2≠0　　∴k＝ 　　有唯一解．　　∴僅有一條弦　　(法二反證法)