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設x∈（0，
π
2
），則函數(shù)（sin2x+
1
sin2x
）（cos2x+
1
cos2x
）的最小值是
 
．
分析：表達式展開，化簡得到
1
4
sin22x+
8
sin22x
-2，轉(zhuǎn)化為
1
4
sin22x+
1
4sin22x
+
31
4sin22x
-2，利用基本不等式求出表達式的最小值即可．
解答：解：（sin2x+
1
sin2x
）（cos2x+
1
cos2x
）=sin2xcos2x+
1
sin2xcos2x 
+
sin2x
cos2x
+
cos2x
sin2x
=sin2xcos2x+
2
sin2xcos2x
-2
=
1
4
sin22x+
8
sin22x
-2=
1
4
sin22x+
1
4sin22x
+ 
31
4sin22x
-2≥
1
2
+
31
4
-2=
25
4
，
當且僅當sin2x=1時，
1
4
sin22x+
1
4sin22x
與
31
4sin22x
同時取得最小值．
故答案為：
25
4
．
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的最值的應用，基本不等式的應用，注意轉(zhuǎn)化思想的應用，sin2x=1時，
1
4
sin22x+
1
4sin22x
與
31
4sin22x
同時取得最小值，是解題的關鍵；可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

規(guī)定Cmx=
x(x-1)…(x-m+1)
m！
，其中x∈R，m是正整數(shù)，且C0x=1，這是組合數(shù)Cmn（n、m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求C3-15的值；
（2）設x＞0，當x為何值時，
C
3
x
(C
1
x
)2
取得最小值？
（3）組合數(shù)的兩個性質(zhì)；
①Cmn=Cn-mm． ②Cmn+Cm-1n=Cmn+1．
是否都能推廣到Cmx（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．
變式：規(guī)定Axm=x（x-1）…（x-m+1），其中x∈R，m為正整數(shù)，且Ax0=1，這是排列數(shù)Anm（n，m是正整數(shù)，且m≤n）的一種推廣．
（1）求A-153的值；
（2）排列數(shù)的兩個性質(zhì)：①Anm=nAn-1m-1，②Anm+mAnm-1=An+1m．（其中m，n是正整數(shù)）是否都能推廣到Axm（x∈R，m是正整數(shù)）的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由；
（3）確定函數(shù)Ax3的單調(diào)區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x∈（0，
π
2
），則下列所有正確結(jié)論的序號為
②⑥
②⑥
．
①sinx＜
2
π
x；②sinx＞
2
π
x；③sinx＜
3
π
x；④sinx＞
3
π
x；⑤sinx＜
4
π2
x2； ⑥sinx＞
4
π2
x2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x＞0，則函數(shù)y=2-
4x
-x的最大值為
-2
-2
；此時x的值是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x
1+x2
，x∈(0，1)．
（1）設x1，x2∈（0，1），證明：（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]≥0；
（2）設x∈（0，1），證明：
3x2-x
1+x2
≥
9
10
(x-
1
3
)；
（3）設x1，x2，x3都是正數(shù)，且x1+x2+x3=1，求u=
3
x
2
1
-x1
1+
x
2
1
+
3
x
2
2
-x2
1+
x
2
2
+
3
x
2
3
-x3
1+
x
2
3
的最小值．

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