Question

下列四個命題中，正確的命題序號是   
（1）對于函數f（x）=（2x-x²）e^x，是f（x）的極小值，是f（x）的極大值；
（2）設回歸直線方程為y=2-2.5x，當變量x增加一個單位時，y平均增加2個單位；
（3）已知平面向量=（1，1），=（1，-1），則向量=（-2，-1）；
（4）已知P，Q為拋物線x²=2y上兩點，點P，Q的橫坐標分別為4，-2，過P、Q分別作拋物線的切線，兩切線交于A，則點A的縱坐標為-4．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數f（x）進行求導，然后令f'（x）=0求出x，在根據f'（x）的正負判斷原函數的單調性，判斷極大值與極小值，判斷（1）的正誤；
（2）當自變量增加一個單位時對應的解析式，把所得的解析式同原來的解析式進行比較，得到y的值平均減少2.5個單位，判斷（2）的正誤．
（3）直接利用向量的坐標運算求出的結果判斷正誤即可．
（4）通過P，Q的橫坐標區別縱坐標，求出二次函數的導數，推出切線方程，求出交點的坐標，即可得到點A的縱坐標．判斷正誤即可．
解答：解：對于（1），因為函數f（x）=（2x-x²）e^x，所以f′（x）=e^x（2-x²），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的單調減區間為（-∞，-），（，+∞），單調增區間為（-，）；
∴f（x）的極大值為f（），極小值為f（-），故（1）正確．
對于（2），∵回歸方程=3-2.5x，①當自變量由x變為x+1時，y=3-2.5（x+1）②，∴②-①得y-=-2.5
即當自變量增加一個單位時，y的值平均減少2.5個單位，所以（2）不正確；
對于（3），平面向量=（1，1），=（1，-1），則向量==（-1，2），所以（3）不正確．
對于（4），因為點P，Q的橫坐標分別為4，-2，代入拋物線方程得P，Q的縱坐標分別為8，2．
由x²=2y，則y=x²，所以y′=x，過點P，Q的拋物線的切線的斜率分別為4，-2，所以過點P，Q的拋物線的切線方程分別為y=4x-8，y=-2x-2 聯立方程組解得x=1，y=-4 故點A的縱坐標為-4．所以（4）正確．
正確命題有（1）（4）．
故答案為：（1）（4）．
點評：本題考查函數的導數與函數的極值的求法，線性回歸方程的意義，排趨性的簡單性質，向量的基本運算，考查知識點多，計算比較麻煩，解題需要仔細認真．