Question

已知四邊形為菱形,,兩個正三棱錐(底面是正三角形且頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心)的側棱長都相等,點分別在上,且.

 (Ⅰ)求證:;

(Ⅱ)求平面與底面所成銳二面角的平面角的正切值;

(Ⅲ)求多面體的體積.

Answer 1

(Ⅰ) 見解析(Ⅱ)  (Ⅲ)

解析:

(Ⅰ)取中點，連、，則

面，  

又

     ……………3分

(Ⅱ)設在底面的射影分別為,則

由所給的三棱錐均為正三棱錐且兩三棱錐全等,

故∥,且=,∴四邊形為平行四邊形,

∴∥,又分別為△,△的中心,

∴在菱形的對角線上,

∴∥,即∥平面…………………………………5分

設平面與平面的交線為,取中點連結,

由

∴為平面與平面所成二面角的平面角

…………………………7分

在△中, ,

∴，

∴……………………………9分

(Ⅲ設、在和上的射影為，則均在直線上，且為平行四邊形，。

為四棱錐                       

設，則，又，由（1）知

即

面，，又面。

設四棱錐的高為，且    

  在中，

F

         

                   ……………13分