Question

已知橢圓C的中心為直角坐標系xOy的原點，焦點在s軸上，它的一個頂點到兩個焦點的距離分別是7和1.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的點，=λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

（Ⅰ）橢圓C的方程為；（Ⅱ）點M的軌跡方程為，其中．當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當時，點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．

解析試題分析：（Ⅰ）由已知可設橢圓長半軸長及半焦距分別為，于是得由此可解得，進而可寫出橢圓的標準方程；（Ⅱ）首先設，其中．由已知及點在橢圓上可得，整理得．注意到，令，得．需按及討論．在的情形下，點M的軌跡為橢圓，這時需要注意是否要加上限制條件．
試題解析：(Ⅰ)設橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得，所以橢圓的標準方程為．     （5分）
（Ⅱ）設，其中．由已知及點在橢圓上可得．
整理得，其中．                   （7分）
（i）時，化簡得，所以點的軌跡方程為，軌跡是兩條平行于軸的線段．                                            （9分）
（ii）時，方程變形為，其中，
當時，點的軌跡為中心在原點、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分； （11分）
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；  （13分）
當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓．                          （15分）
考點：1．橢圓方程的求法；2．軌跡方程的求法．