Question

已知△ABC的外接圓半徑R為6，面積為S，a、b、c分別是角A、B、C的對邊設S=a2-(b-c)2，sinB+sinC=

4

3

．
（I）求sinA的值；
（II）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用三角形的面積公式，由b，c及sinA表示出三角形的面積S，與已知的S相等，利用完全平方公式化簡后，由bc不為0，等號兩邊同時除以bc，得到sinA和cosA的關系式，將此等式兩邊平方后，再利用同角三角函數間的基本關系化為關于sinA的方程，根據sinA不為0，求出方程的解即可求出sinA的值；
（II）根據正弦定理化簡sinB+sinC=

4

3

，把R的值代入即可得到b+c的值，然后把第一問求出的sinA的值代入S=

1

2

bcsinA中，根據基本不等式bc≤(

b+c

2

)2得到當且僅當b=c時，面積的最大值，但是由b=c，根據正弦定理得到sinB=sinC，再由sinB+sinC=

4

3

可得sinB與sinC的值，進而利用誘導公式求出sinA的值不等于第一問求出的sinA的值，矛盾，從而得到面積不能達到此時的最大值，由R和sinA的值，利用正弦定理求出a的值，再由b+c的值，利用余弦定理表示出a²，變形后，把a與b+c的值代入求出bc的值，把sinA和求出bc的值代入S=

1

2

bcsinA，即可求出面積的最大值．

解答：解：（I）由S=

1

2

bcsinA，又S=a²-（b-c）²，
可得：

1

2

bcsinA=a²-（b²-2bc+c²）=2bc-（b²+c²-a²）=2bc-2bccosA，又bc≠0，
變形得：

1

4

=

1-cosA

sinA

，即cosA=1-

1

4

sinA，
兩邊平方得：cos²A=（1-

1

4

sinA）²，又sin²A+cos²A=1，
可得1-sin²A=1-

1

2

sinA+

1

16

sin²A，即

17

16

sin²A-

1

2

sinA=0，
又sinA≠0，
∴sinA=

8

17

；
（II）由sinB+sinC=

4

3

，
根據正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

=2R，可得

b

2R

+

c

2R

=

4

3

，又∵R=6，∴b+c=16，
∴S=

1

2

bcsinA=

4

17

bc≤

4

17

(

b+c

2

)2=

256

17

，當且僅當b=c=8時，Smax=

256

17

，
此時sinB=sinC=

2

3

∴sinA=sin(B+C)=

4 5

9

(≠

8

17

)與第一問矛盾，
由a=2RsinA=2×6×

8

17

=

96

17

，且b+c=16，
根據余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA得：bc=

1012

17

，
此時S=

1

2

bcsinA=

4048

289

，
則△ABC面積的最大值為

4048

289

．

點評：本題考查了三角函數的恒等變形，正弦定理、余弦定理的應用，三角形的面積公式以及基本不等式的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．本題的第二問在利用基本不等式得到b=c時，面積達到最大，經過驗證發現，b=c是不成立的，學生做題時應注意這點，不要錯誤認為此時面積最大．