Question

已知函數，是的一個零點，又在處有極值，在區間和上是單調的，且在這兩個區間上的單調性相反．（1）求的取值范圍；（2）當時，求使成立的實數的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ） （Ⅱ）所以存在實數，滿足題目要求.

本題主要考查利用導數求函數的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．著重考查了利用導數研究函數的單調性與極值，以及函數的零點和函數在某點取得極值的條件
（1）求出函數f（x）的導函數，由題意得f'（0）=0即可得到c=0；
（2）由（1）得，f'（x）=3ax²+2bx=x（3ax+2b），f′（x）的零點為x=0或x= 
，再根據f（x）在區間（-6，-4）和（-2，0）上的單調且單調性相反，列出不等式組，化簡得
（3）將b=3a代入到f'（x）中，化簡得f'（x）的零點為x=0或-2，討論當a＞0和當a＜0時f'（x）的情況，可以得出兩種情況下f（x）在區間[-3，2]上的取值范圍，最后根據不等式-3≤f（x）≤2恒成立，化簡即得實數a的取值范圍