Question

如圖，曲線y=上的點P_i(t_i²，t_i)(i=1，2，…，n，…)與x軸正半軸上的點Q_i及原點O構成一系列正三角形P_iQ_i-1Q_i(Q₀與O重合)，記a_n=|Q_nQ_n-1|.

(Ⅰ)求a₁的值；

(Ⅱ)求數列{a_n}的通項公式a_n；

(Ⅲ)設S_n為數列{a_n}的前n項和；若對于任意的實數λ∈[0，1]，總存在自然數k，當n≥k時，3S_n-3n+2≥(1—λ)(3a_n-1)恒成立，求k的最小值.

Answer 1

解：(Ⅰ)由P₁(,ti)(t＞0),得

a₁=|Q₁Q₀|=|OQ|=|OP₁|=

(Ⅱ)設P_n(,t_n),得直線P_nQ_n-1的方程為：

y-t_n=,可得Q_n-1()

直線P_nQ_n的方程為y-t_n=-(x),可得Q_n(),

所以也有Q_n-1(),得,

由t_n＞0,得t_n-t_n-1=所以t_n=t₁+,Q_n(n(n+1),0),

Q_n-1(n(n-1),0)  故a_n=|Q_nQ_n-1|=n 

(Ⅲ)由已知對任意實數時λ∈[0,1]時n²-2n+2≥(1-λ)(2n—1)恒成立對任意實數λ∈[0,1]時,(2n-1)λ+n²-4n+3≥0恒成立則令f(λ)=(2n-1)λ+n²-4n+3,則f(λ)是關于λ的一次函數.對任意實數時λ∈[0,1]時n2-2n+2≥(1-λ)(2n-1)恒成立對任意實數,λ∈[0,1]時,或n≤1  又∵n∈N^*  ∴k的最小值為3.