Question

（2010•馬鞍山模擬）已知向量

a

=(2cos，2sinx)，向量

b

=(

3

cosx，-cosx)，函數f(x)=

a

•

b

-

3

．
（1）求函數f（x）（2）的最小正周期；
（3）求函數f（x）（4）的單調遞增區間；
（5）求函數f（x）（6）在區間[

π

12

，

7π

12

]（7）上的值域．

Answer 1

分析：利用向量的數量積的運算及二倍角、輔助角公式對函數化簡可得f(x)=

a

•

b

-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根據周期公式可求
（2）結合余弦函數的單調增區間可得2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π，從而可求
（3）由

π

12

≤x≤

7π

12

可得

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

 結合余弦函數的性質可求

解答：解：f(x)=

a

•

b

-

3

=2

3

cos2x-2sinxcosx-

3

=

3

(1+cos2x)-sin2x-

3

=2cos(2x+

π

6

)
（1）根據周期公式可得，T=π
（2）由2kπ+π≤2x+

π

6

≤2kπ+2π得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

5π

12

函數的單調遞增區間為：[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]
（3）∵

π

12

≤x≤

7π

12

∴

π

3

≤2x+

π

6

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

6

)≤

1

2

∴-2≤f（x）≤1

點評：本題以向量的運算為切入點主要考查了二倍角公式、輔助角公式的應用，還考查了三角函數的性質：周期性，單調區間及函數的值域的求解，屬于基本知識的簡單運用．