Question

（本小題滿(mǎn)分13分）已知數(shù)列{a_n}，定義（n∈N₊）是數(shù)列{a_n}的倒均數(shù)．   （1）若數(shù)列{a_n}的倒均數(shù)是，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（2）若等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為–1，公比為q =，其倒均數(shù)為V_n，問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使得當(dāng)n≥m(n∈N₊)時(shí)，V_n<–16恒成立？若存在，求m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  m = 7．

      （1）由得  ①………1分
當(dāng)n = 1時(shí)，，∴a₁ = 1．……2分
當(dāng)n≥2時(shí)，  ②
①– ②得，即，∴………分
（2）b_n =,
……8分
令V_n<–16得．即n，．
當(dāng)n = 6時(shí)，2⁶ <16×6 +1，當(dāng)n = 7時(shí)，2⁷ = 128，16×7 + 1 = 113，2⁷>16×7 + 1．
下面證當(dāng)n≥7(n∈N₊)時(shí)，成立．…10分
1°當(dāng)n = 7時(shí)，已證；  2°假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)，2^k>16k + 1成立，
當(dāng)n = k + 1時(shí)，=16k + 16k + 2 >16k + 16 +1 = 16(k + 1) + 1
這就是說(shuō)，當(dāng)n = k + 1時(shí)，結(jié)論也成立．
由1°，2°可知，當(dāng)n≥7時(shí)，2ⁿ>16n + 1成立．故m的最小值為m = 7．
此題也可用導(dǎo)數(shù)法證對(duì)成立．………13分