Question

已知復數z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2，
（1）求復數z及復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角．
（2）設z、z²、z-z²在復平面內的對應點分別為A、B、C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）令z=x+yi，根據|z|=

2

，z²的虛部為2建立方程求出復數z，由其位置判斷出復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角
（2）由（1）求出z、z²、z-z²，在復平面內找出對就的點的坐標，求出三角形的面積

解答：解：（1）令z=x+yi∴

x2+y2=2 2xy=2

∴

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∴z=1+i，或z=-1-i
當z=1+i時，復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角θ=45°，
當z=-1-i時，復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角θ=225°
故復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角為45°或225°．
（2）當z=1+i時，z²=2i，z-z²=1-i，z、z²、z-z²在復平面內的對應點分別為A（1，1）、B（0，2）、C（1，-1），
故|AC|=2，點B到直線AC的距離是1，所以S_△ABC=1，
同理當z=-1-i時，S_△ABC=1，
∴S_△ABC=1

點評：本題考查三角形中的幾何計算及復數的運算，解題的關鍵是熟練掌握復數的運算及復數的幾何意義，再由題設中的條件求解，求面積，本題涉及到三角計算，得數的運算，向量的夾角，綜合性強，轉化靈活，解題時要嚴謹．