Question

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點，且PA=AC=BC，E，F分別為PC，PB中點．
（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）求證：EF⊥PC；
（3）求三棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證EF∥面ABC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與面ABC內一直線平行即可，根據中位線可知EF∥BC，又BC?面ABC，EF?面ABC，滿足定理所需條件；
（Ⅱ）欲證EF⊥PC，可先證EF⊥面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證EF與面PAC內兩相交直線垂直，而PA⊥面ABC，BC?面ABC，則BC⊥PA，而AB是⊙O的直徑，則BC⊥AC，又PA∩AC=A，則BC⊥面PAC，滿足定理條件；
（Ⅲ）根據PA⊥面ABC，則PA即為三棱錐B-PAC的高，將三棱錐B-PAC的體積轉化成三棱錐P-ABC的體積，根據錐體的體積公式進行求解即可．

解答：證明：（Ⅰ）在△PBC中，∵E，F分別為PC，PB中點，∴EF∥BC，
又∵BC?面ABC，EF?面ABC，∴EF∥面ABC（4分）
（Ⅱ）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，∴BC⊥PA，∵AB是⊙O的直徑，
∴BC⊥AC，又∵PA∩AC=A，∴BC⊥面PAC．∵EF∥BC，∴EF⊥面PAC，∵PC?面PAC，∴EF⊥PC（9分）
（Ⅲ）在Rt△ABC中，AC=BC=

2

，∴△ABC的面積S△ABC=

1

2

AC•BC=1，
∵PA⊥面ABC，∴VB-PAC=VP-ABC=

1

3

S△ABCPA=

2

3

（13分）

點評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及空間兩直線的位置關系的判定和三棱錐的體積的計算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現，值得重視．