Question

（本題滿分15分） 設點為圓上的動點，過點作軸的垂線，垂足為．動點滿足（其中，不重合）．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）過直線上的動點作圓的兩條切線，設切點分別為．若直線與（Ⅰ）中的曲線交于兩點，求的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】解：（Ⅰ）設點M(x,y),由，由于點P在上，則，

即M的軌跡方程為.                     ……4′

（Ⅱ）設點T(-2,t)，，則AT，BT的方程為：，，

又點T(-2,t) 在AT、BT上，則有：

①，②，由①、②知AB的方程為：.  ……3′

設點，則圓心O到AB的距離，

；又由，得，于是

，，于是

于是，     ……3′

設，則，于是，設，于是，設，，令，得m=1/4.

得f(m)在(0,1/4】上單調遞增，故.

即的范圍為                                    ……5′

思路分析：第一問中利用向量的關系式消元法得到軌跡方程。設點M(x,y),由，由于點P在上，則，

第二問，設點T(-2,t)，，則AT，BT的方程為：，，

又點T(-2,t) 在AT、BT上，則有：

①，②，由①、②知AB的方程為：.  ……3′

設點，則圓心O到AB的距離

；又由，得，于是

，，于是

 

構造函數求解得到。