Question

（本小題滿分14分）
已知函數，，它們的定義域都是，其中，
（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ）當時，對任意，求證：
（Ⅲ）令，問是否存在實數使得的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）的單調增區間為，減區間為
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）

21 （本小題滿分14分）
（Ⅰ）當時，，  
∴                      -----------2分
令 ∴   令 ∴
∴的單調增區間為，減區間為            -----------4分
（Ⅱ）由（I）知在的最小值為        -----------5分
又
在區間上成立
∴在單調遞增，故在區間上有最大值 -----------7分
要證對任意，
即證
即證，即證
故命題成立                                     -----------9分
（Ⅲ），
∴
（1）當時，，∴在單調遞減，
故的最小值為，舍去                -----------11分
（2）當時，由，得 
①當時，，
∴在單調遞減，故的最小值為，
∴，舍去
②當時，，
∴在單調遞減，在單調遞增，
故的最小值為，，滿足要求  -----------12分
（3）當時，在上成立，
∴在單調遞減，故的最小值為∴，舍去
綜合上述，滿足要求的實數                  -----------14分