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已知銳角△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B），且
m
⊥
n
．
（1）求B的大小；
（2）若sinA，sinB，sinC成等差數列，且
BA
•（
AC
-
AB
）=18，求b的值．
分析：（1）把向量
n
的坐標利用二倍角的余弦函數公式化簡，再由
m
⊥
n
，得到其數量積為0，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用二倍角的正弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，由B為銳角，得到這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數列，根據等差數列的性質列出關系式，利用正弦定理化簡，得到2b=a+b，再利用平面向量的數量積運算法則化簡
BA
•（
AC
-
AB
）=18，把cosB的值代入得到ac的值，利用余弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB，把cosB及ac的值代入，配方后將a+c換為2b，得到關于b的方程，求出方程的解即可得到b的值．
解答：解：（1）∵向量
m
=（2sinB，
3
），
n
=（2cos2
B
2
-1，cos2B）=（cosB，cos2B），且
m
⊥
n
．
∴
m
•
n
=0，即2sinBcosB+
3
cos2B=sin2B+
3
cos2B=2sin（2B+
π
3
）=0，…（4分）
又∵0＜B＜
π
2
，∴2B+
π
3
=π，
∴B=
π
3
；…（6分）
（2）由sinA，sinB，sinC成等差數列得：2sinB=sinA+sinC，
由正弦定理得：2b=a+c，
∵
BA
•（
AC
-
AB
）=18，∴
BA
•
BC
=18，
即ac•cosB=18，可得ac=36，
由余弦弦定理得：b2=a2+c2-2ac•cosB=（a+c）2-3ac，
∴b2=4b2-3×36，即b2=36，
∴b=6．…（12分）
點評：此題考查了正弦、余弦定理，平面向量的數量積運算，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，等差數列的性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標系xOy中，銳角△ABC內接于圓x2+y2=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）給出下列命題，其中正確的命題是
①③④
①③④
（寫出所有正確命題的編號）．
①非零向量
a
、
b
滿足|
a
|=|
b
|=|
a
-
b
|，則
a
與
a
+
b
的夾角為30°；
②已知非零向量
a
、
b
，則“
a
•
b
＞0”是“
a
、
b
的夾角為銳角”的充要條件；
③命題“在三棱錐O-ABC中，已知
OP
=x
OA
+y
OB
-2
OC
，若點P在△ABC所在的平面內，則x+y=3”的否命題為真命題；
④若(
AB
+
AC
)•(
AB
-
AC
)=0，則△ABC為等腰三角形．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=2sin(x-
π
3
)cosx+sinxcosx+
3
sin2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，π]內的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，B為銳角，且f(B)=
3
，AC=4
3
，D是BC邊上一點，AB=AD，試求AD+DC的最大值．

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科目：高中數學 來源：浙江省金華一中2011－2012學年高一下學期期中考試數學試卷 題型：013

給出下列命題：

(1)α、β是銳角△ABC的兩個內角，則sinα＜sinβ；

(2)在銳角△ABC中，BC＝1，B＝2A，則AC的取值范圍為()；

(3)已知與為互相垂直的單位向量，＝－2，＝＋λ且與的夾角為銳角，則實數λ的取值范圍是；

(4)已知O是△ABC所在平面內定點，若P是△ABC的內心，則有＝＋λ()，λ∈R；

(5)直線x＝－是函數y＝sin(2x－)圖象的一條對稱軸．

其中正確命題是

[　　]

A．(1)(3)(5)

B．(2)(4)(5)

C．(2)(3)(4)

D．(1)(4)(5)

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知在銳角ΔABC中，角所對的邊分別為，且

(I )求角大小；

(II)當時，求的取值范圍.

20．如圖1，在平面內，是的矩形，是正三角形，將沿折起，使如圖2，為的中點，設直線過點且垂直于矩形所在平面，點是直線上的一個動點，且與點位于平面的同側。

（1）求證：平面；

（2）設二面角的平面角為，若，求線段長的取值范圍。

 


21.已知A，B是橢圓的左，右頂點，，過橢圓C的右焦點F的直線交橢圓于點M，N，交直線于點P，且直線PA，PF，PB的斜率成等差數列,R和Q是橢圓上的兩動點，R和Q的橫坐標之和為2，RQ的中垂線交X軸于T點

(1)求橢圓C的方程；

（2）求三角形MNT的面積的最大值

22. 已知函數 ，

（Ⅰ）若在上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為，試求和的值。

（Ⅱ）若為奇函數：

（1）是否存在實數，使得在為增函數，為減函數，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（2）如果當時，都有恒成立，試求的取值范圍.

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同步練習冊答案