Question

在等差數列{a_n}中，a₁=3，其前n項和為S_n，{b_n}是各項均為正數的等比數列，b₁=1，公比為q且滿足b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求數列{a_n}和 {b_n}的通項公式a_n，b_n；
（Ⅱ）求數列{a_n-b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）分別利用等差數列的求和公式及等比數列的通項公式表示已知條件，然后解方程可求等比數列的公比q，等差數列的公差d，即可求解
（II）根據（1）中數列{a_n}和 {b_n}的通項公式，利用拆項法結合等差數列的等比數列的前n項和公式，可得答案．

解答：解：（I）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵等差數列{a_n}前n項和為S_n，數列{b_n}為等比數列，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，
∴

1+q+a1+a2=12 q= a1+a2 1•q

即

q+6+d=12 q2=6+d

解得

d=3 q=3

∴a_n=3+（n-1）•3=3n，b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（II）由（I）得數列{a_n-b_n}的前n項和T_n滿足
T_n=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_n-b_n）=（a₁+a₂+…+a_n）-（b₁+b₂+…+b_n）
=3n+

n(n-1)

2

×3-

1-3n

1-3

=

3n2+3n-3n+1

2

點評：本題考查等差數列與等比數列的通項公式和前n項和公式，考查方程思想與運算能力，屬于中檔題．