Question

 

 定義函數其導函數記為_.

（1）   求證：；

（2）   設，求證： ；

（3）   是否存在區間使函數在區間上的值域為？ 若存在，求出最小的值及相應的區間.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）∵，令

則

當時，當時，

∴在上遞減，在上遞增

故在處取得極（最）小值

∴，即（當且僅當時取等號）……………………4分

（2）由，得

∴，，易知，…………….6分

而

由（1）知當時，，故

∴，∴…………………………………………………………9分

（3）

令，得或，

∴當時，；

當時，；

當時，，

故的圖象如圖所示。

下面考查直線與的相交問題

由圖可知直線與存在交點，

且滿足在區間上的值域為

∵在上，為圖象的極小值點

∴過作直線與的圖象交于另一點，當直線繞原點順時鐘旋轉至點時，滿足條件的取最小值，即的最小值為，相應區間為。…………………………………………………………………………