Question

(本小題滿分14分) 已知函數，(x>0)．

（1）當0<a<b，且f(a)=f(b)時，求的值  ；   

（2）是否存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請說明理由．

（3）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為 [a，b]時，值域為 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范圍．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（14分）（1）．

  （2）不存在滿足條件的實數a，b．

（3）

【解析】（14分）解：（1） ∵x>0，∴

∴f(x)在（0，1）上為減函數，在上是增函數．

由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a1<b和．即．

                                    ……………………3分

（2）不存在滿足條件的實數a，b．

若存在滿足條件的實數a，b，使得函數y=的定義域、值域都是[a，b]，

則a>0． 而

①當時，在（0，1）上為減函數．

故     即  解得  a=b．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

②當時，在上是增函數．

故     即 

此時a，b是方程的根，此方程無實根．

故此時不存在適合條件的實數a，b．

③當，時，由于，而，

故此時不存在適合條件的實數a，b．

      綜上可知，不存在適合條件的實數a，b．         …………………………8分

（3）若存在實數a，b（a<b），使得函數y=f(x)的定義域為[a，b]時，值域為[ma，mb]．

      則a>0，m>0．

①   當時，由于f(x)在（0，1）上是減函數，故．此時得a=b，不符合題意，所以a，b不存在．                              

②   當，時，由（2）知0在值域內，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

        故只有．

∵在上是增函數，

     ∴ 即    所以a、b是方程的兩個根．

即關于x的方程有兩個大于或等于1的相異實根．

設這兩個根為、，則+=，·=．

∴       即    解得   ．

    故m的取值范圍是．    ……………………………14分