Question

已知圓x²+y²=4內一定點M（0，1），經M且斜率存在的直線交圓于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，過點A、B分別作圓的切線l₁，l₂．設切線l₁，l₂交于點Q．
（1）設點P（x₀，y₀）是圓上的點，求證：過P的圓的切線方程是

x

0

x+y0y=4
（2）求證Q在一定直線上．

Answer 1

分析：（1）當P不在坐標軸上時，求得切線的斜率，用點斜式求得切線方程，當P在x、y軸上時，經檢驗也滿足，從而得出結論．
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，利用一元二次方程根與系數的關系以及（1）的結論求得Q（x₀，y₀）的坐標，可得Q（x₀，y₀）的坐標滿足直線y=4的方程，從而得出結論．

解答：解：（1）當P不在坐標軸上時，OP的斜率為

y0

x0

，故切線的斜率為-

x0

y0

，故切線方程為 y-y0=-

x0

y0

(x-x0)⇒y0y-y02=-x0x+

x

2 0

，
又x02+

y

2 0

=4，可得

x

0

x+y0y=4．
當P在y軸上時，P（0，2）或P（0，-2），此時切線方程為y=2或y=-2，上述方程也滿足．
同理可得，當P在x上時上述方程也滿足，
綜上，原命題得證．
（2）設直線AB的方程為y=kx+1，
代入x²+y²=4得（1+k²）x²+2kx-3=0，∴x1+x2=

-2k

1+k2

，x1x2=-3（定值）．
設Q（x₀，y₀），

x1x0+y1y0=4 x2x0+y2y0=4

，解得y0=

4(x2-x1)

x2y1-x1y2

，x0=

4(y2-y1)

x1y2-x2y1

．
把y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1代入得：y₀=4，x₀=-4k．
故Q在一定直線y=4上．

點評：本題主要考查求圓的切線方程，一元二次方程根與系數的關系，直線過定點問題，屬于中檔題．