Question

設函數f（x）=ax²+bx+c，已知f（0）=1，f（x）=f（3-x），且函數f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個交點．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當a＞

1

2

時，若函數g(x)=

f(lnx)+k-1

lnx

在區間[e，e²]上是單調函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題目給出的f（0）=1，求出c的值，運用f（x）=f（3-x），求出函數對稱軸，用函數f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個交點聯立后由判別式等于0列式，最后聯立方程組求得a、b的值，則解析式可求；
（2）把f（x）代入函數g（x），求導函數后讓導函數在區間[e，e²]上恒大于0或恒小于0求解實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為函數f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1，得c=1，所以f（x）=ax²+bx+1，
又f（x）=f（3-x），所以二次函數的對稱軸為x=

3

2

，即-

b

2a

=

3

2

   ①
又函數f（x）的圖象與直線x+y=0有且只有一個交點，聯立

x+y=0 ax2+bx+1=y

得：ax²+（b+1）x+1=0
所以（b+1）²-4a=0    ②
解①②得：a=1，b=-3或a=

1

9

，b=-

1

3

所以f（x）=x²-3x+1，或f（x）=

1

9

x2-

1

3

x+1
（2）當a＞

1

2

時，f（x）=x²-3x+1，
g（x）=

(lnx)2-3lnx+1+k-1

lnx

=lnx+

k

lnx

-3，
g′(x)=

1

x

-

k

x•ln2x

=(1-

k

ln2x

)×

1

x

，
因為函數定義域為（0，+∞）所以要使函數g（x）在區間[e，e²]上是單調函數，
所以需要1-

k

ln2x

≤0或1-

k

ln2x

≥0在[e，e²]上恒成立，
解得k≥4或k≤1．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，會利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．