Question

（1）直線l與拋物線y²=8x交于A，B兩點，且l經過拋物線的焦點F，已知A（8，8），則線段AB的中點到準線的距離為

25

4

（2）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，-5），點P（x，-1，3）在平面ABC內，則x=

11

．

Answer 1

分析：（1）先根據拋物線方程求得焦點坐標，進而可得直線AB方程，把B點代入可求得B點坐標，進而根據拋物線的定義求得答案．
（2）利用共面定理解答，即若空間中四點P，A，B，C，滿足 設

PA

=x

AB

+y

AC

，則此四點共面，于是本題可以代入點的坐標，列方程組求解．

解答：解：（1）由y²=8x知2p=8，p=4．
由AB直線過焦點F和點（8，8），∴直線AB斜率為

8-0

8-2

=

4

3

∴直線AB方程為y=

4

3

（x-2），
由

y= 4 3 (x-2) y2=8x

解得B點坐標為（

1

2

，-2）
∴線段AB中點到準線的距離為

x1+x2

2

+p=

8+ 1 2

2

+2=

25

4

．
故答案為

25

4

（2）由共面向量定理，可設

PA

=y

AB

+z

AC

，其中y，z∈R，于是代入點的坐標有：
（4-x，2，0）=y（-2，2，-2）+z（-1，6，-8），
得方程組：

4-x=-2y-z 2=2y+6z 0=-2y-8z

解得

x=11 y=4 z=-1

故答案為11

點評：本題第一問主要考查了直線與拋物線的關系，利用拋物線的定義來解決拋物線的焦點弦問題．第二問考查了空間向量的坐標運算，共面向量定理的應用，空間向量的坐標運算等知識內容．