Question

（文）已知定義在R上的函數y=f（x）對任意的x都滿足f（x+2）=-f（x），當-1≤x＜1時，f（x）=x³，則x∈[2，4]時y=f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

分析：依題意，易求y=f（x）是以4為周期的函數，利用-1≤x＜1時，f（x）=x³，分當1≤x＜3與3≤x＜5兩段討論即可求得x∈[2，4]時y=f（x）的解析式．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
∴y=f（x）是以4為周期的函數；
又當-1≤x＜1時，f（x）=x³，
∴當1≤x＜3時，-1≤x-2＜1，
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³；
當3≤x＜5時，-1≤x-4＜1，又y=f（x）是以4為周期的函數，
∴f（x）=f（x-4）=（x-4）³，
∴當x∈[2，4]時y=f（x）的解析式是：
f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

．
故答案為：f（x）=

-(x-2)3，x∈[2，3) (x-4)3，x∈[3，4]

．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的周期性與分段函數解析式的確定，考查分類討論思想與轉化運算能力，屬于中檔題．