Question

已知函數f(x)=

2x+1

+k定義域為D，且方程f（x）=x在D上有兩個不等實根，則k的取值范圍是（　　）

• A、-1＜k≤-

  1

  2

• B、

  1

  2

  ≤k＜1
• C、k＞-1
• D、k＜1

Answer 1

分析：根據函數f(x)=

2x+1

+k，我們可得方程f（x）=x的表達式，
（法一）我們可以根據方程的根與函數零點的對應關系，將問題轉化為兩個函數圖象有兩個交點的問題，然后分析臨界直線性質，構造關于k的不等式，解不等式即可得到答案．
（法二）利用平方法去掉絕對值符號后，將問題轉化為一個二次方程在定區間有兩相異實根問題，構造函數，利用二次函數的性質，構造關于k的不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：依題意

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根．
（方法一）問題可化為y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個不同交點、
對于臨界直線m，應有-k≥

1

2

，即k≤-

1

2

．
對于臨界直線n，化簡方程

2x+1

=x-k，
得x²-（2k+2）x+k²-1=0，
令△=0，解得k=-1，
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，
∴-k＜1，即k＞-1．
綜上，-1＜k≤-

1

2

．
（方法二）化簡方程

2x+1

=x-k，
得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，
則由根的分布可得

g(- 1 2 )≥0 k+1＞- 1 2 △＞0

，即

(k+ 1 2 )2≥0 k＞- 3 2 k＞-1

，
解得k＞-1．又

2x+1

=x-k，
∴x≥k，∴k≤-

1

2

．
綜上，-1＜k≤-

1

2

．

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據已知條件，構造關于k的不等式，是解答本題的關鍵．