Question

已知F是橢圓D：

x2

2

+y2=1的右焦點，過點E（2，0）且斜率為正數的直線l與D交于A、B兩點，C是點A關于x軸的對稱點．
（Ⅰ）證明：點F在直線BC上；
（Ⅱ）若

EB

•

EC

=1，求△ABC外接圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出直線l的方程，代入橢圓方程，利用向量共線，證明B、F、C三點共線，即點F在直線BC上；
（Ⅱ）利用

EB

•

EC

=1，確定直線的斜率，從而可求A，B，C的坐標，即可求△ABC外接圓的方程．

解答：（Ⅰ）證明：設直線l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₁，-y₁），F（1，0），
由

y=k(x-2) x2 2 +y2=1

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0．
所以x1+x2=

8k2

2k2+1

，x1x2=

8k2-2

2k2+1

．
又△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，則k2＜

1

2

．…（3分）
而

FB

=(x2-1 ， y2)=(x2-1 ， kx2-2k)，

FC

=(x1-1 ， -y1)=(x1-1 ， -kx1+2k)，
所以（x₁-1）（kx₂-2k）-（x₂-1）（-kx₁+2k）=k[2x₁x₂-3（x₁+x₂）+4=k(

16k2-4

2k2+1

-

24k2

2k2+1

+4)=0．…（5分）
∴B、F、C三點共線，即點F在直線BC上．…（6分）
（Ⅱ）解：因為

EB

=(x2-2 ， y2)，

EC

=(x1-2 ， -y1)，
所以

EB

•

EC

=(x2-2)(x1-2)-y1y2=(1-k2)(x2-2)(x1-2)=（1-k²）[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=(1-k2)(

8k2-2

2k2+1

-

16k2

2k2+1

+4)=

2-2k2

2k2+1

=1，
又k＞0，解得k=

1

2

，滿足k2＜

1

2

．…（9分）
代入（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0，知 x₁，x₂是方程3x²-4x=0的兩根，
根據對稱性不妨設x₁=0，x2=

4

3

，即A（0，-1），C（0，1），B(

4

3

， -

1

3

)．…（10分）
設△ABC外接圓的方程為（x-a）²+y²=a²+1，把B(

4

3

， -

1

3

)代入方程得a=

1

3

，
即△ABC外接圓的方程為(x-

1

3

)2+y2=

10

9

．…（12分）

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查圓的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．