Question

某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中實數a的值；
(2)若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；
(3)若從數學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，求這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

（1）a＝0.03（2）544（3）

(1)由已知得，10×(0.005＋0.01＋0.02＋a＋0.025＋0.01)＝1，解得a＝0.03.
(2)根據頻率分布直方圖可知，成績不低于60分的頻率為1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.
由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數約為640×0.85＝544.
(3)易知成績在[40,50)分數段內的人數為40×0.05＝2，這2人分別記為A，B；成績在[90,100]分數段內的人數為40×0.1＝4，這4人分別記為C，D，E，F.
若從數學成績在[40,50)與[90,100]兩個分數段內的學生中隨機選取2名學生，則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15個．
如果2名學生的數學成績都在[40,50)分數段內或都在[90,100]分數段內，那么這2名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10.如果一個成績在[40,50)分數段內，另一個成績在[90,100]分數段內，那么這2名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10.
記“這2名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共7個．
所以所求概率為P(M)＝.