Question

已知函數f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在（0，2）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）設x₁，x₂，x₃為方程f（x）=0的三個根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），求證：|a|＞1．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數f′（x）=-3x²+2ax，f′（x）=0的兩個根分別為x=0或x=

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a，為了求函數的單調增區間，需討論a與0的關系，結合已知函數f（x）在（0，2）上是增函數，區間（0，2）應為函數單調增區間的子區間，從而求得a的范圍，也可根據導函數的圖象開口向下，過（0，0）的特點，只需導函數在（0，2）上恒大于或等于零，即

f′(0)≥0 f′(2)≥0

解得a的范圍．
（2）由于一元三次方程最多三個根，且x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），x₃（-∞，-1）∪（1，+∞），由根的存在性定理，f（-1）×f（0）＜0，且f（0）×f（1）＜0，得關于a和b的不等式，分別討論b＞0，b=0，b＜0，證明滿足題意的a的絕對值恒大于1

解答：解：（1）解：由題意，得f′（x）=-3x²+2ax 
令f′（x）=0，解得x=0或x=

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a
當a＜0時，由f′（x）＞0，解得

2

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a＜x＜0，
∴f（x）在（

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a，0）上是增函數，與題意不符，舍去      
當a=0時，由f′（x）=-3x²≤0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數與題意不符，舍去   
當a＞0時，由f′（x）＞0，解得0＜x＜

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a
∴f（x）在（0，

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a）上是增函數，
又∵f（x）在（0，2）上是增函數，
所以

2

3

a≥2，解得a≥3   
綜上，a的取值范圍為[3，+∞）         
另解：要使f（x）在（0，2）上是增函數，只需f′（x）在（0，2）上恒大于或等于零
∵f′（x）=）=-3x²+2ax 的圖象是開口向下的拋物線，且過定點（0，0）
∴只需

f′(0)≥0 f′(2)≥0

，即

0≥0 -3×4+4a≥0

a≥3，即a的取值范圍為[3，+∞）      
（2）解：因為方程f（x）=-x³+ax²+b=0最多只有3個根，
由題意得在區間（-1，0）內僅有一根，
∴f（-1）f（0）=b（1+a+b）＜0，①
由題意得在區間（0，1）內僅有一根，
∴f（0）•f（1）=b（-1+a+b）＜0      ②
當b=0時，∵f（0）=0，
∴f（x）=0有一根0，這與題意不符，
∴b≠0
當b＞0時，由①得1+a+b＜0，即a＜-b-1，
由②得-1+a+b＜0，即a＜-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＜-b-1＜-1，
即a＜-1    
當b＜0時，由①得1+a+b＞0，即a＞-b-1，
由②得-1+a+b＞0，即a＞-b+1，
∵-b-1＜-b+1，∴a＞-b+1＞1，
即a＞1  
綜上，|a|＞1

點評：本題考查了導數在函數單調性中的應用，已知函數的單調性求參數范圍的解決方法，函數的零點存在性定理與方程根的分布的關系，分類討論的思想方法