Question

設函數f（x）=ax+（a, b∈Z），曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3.

（Ⅰ）求f（x）的解析式：

（Ⅱ）證明：函數y=f（x）的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；

（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值.

Answer 1

解：（Ⅰ）

         于是，解得或

         因，故。

（Ⅱ）證明：已知函數，都是奇函數

         所以函數也是奇函數，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形。

    而，

可知，函數的圖像按向量平移，即得到函數的圖像，

故函數的圖像是以點為中心的對稱圖形。

（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點，

由知，過此點的切線方程為

，

令得，切線與直線交點為。

令得，切線與直線的交點為，

直線與直線的焦點為，

從而所圍三角形的面積為

所以，所圍三角形的面積為定值2。