Question

如圖1， 在直角梯形中， ， ，，為線段的中點(diǎn). 將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖2所示.

（1）求證:平面；

（2）求二面角的余弦值.   

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理來(lái)證明線線垂直。

（2）

【解析】

試題分析：解析：（1）在圖1中， 可得， 從而，

故.

取中點(diǎn)連結(jié)， 則， 又面面，

面面， 面， 從而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則， ， ，，

.

設(shè)為面的法向量，則即， 解得. 令， 可得.

又為面的一個(gè)法向量，∴.

∴二面角的余弦值為.

（法二）如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié).

易知，又，，又，.

又為的中位線，因，，，且都在面內(nèi)，故，故即為二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值為.

考點(diǎn)：棱錐中的垂直以及二面角的平面角

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了運(yùn)用向量法來(lái)空間中的角以及垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題。