Question

已知函數(shù).

（1）若，當(dāng)時，求的取值范圍；

（2）若定義在上奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，求在上的反函數(shù)；

（3）對于（2）中的，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）這實質(zhì)上是解不等式，即，但是要注意對數(shù)的真數(shù)要為正，，；（2）上奇函數(shù)滿足，可很快求出，要求在上的反函數(shù)，必須求出在上的解析式，根據(jù)的定義，在上也應(yīng)該是一個分段函數(shù)，故我們必須分別求出表達(dá)式，然后分別求出其反函數(shù)的表達(dá)式；（3）根據(jù)已知可知是周期為4的周期函數(shù)，不等式在上恒成立，求參數(shù)的取值范圍問題，一般要研究函數(shù)的的單調(diào)性，利用單調(diào)性，可直接去掉函數(shù)符號，由已知，我們可得出在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，而可無限趨近于，因此時，題中不等式恒成立，就等價于，現(xiàn)在我們只要求出的范圍，而要求的范圍，只要按的正負(fù)分類即可．

試題解析：（1）原不等式可化為    1分

所以，，         1分

得                 2分

（2）因為是奇函數(shù)，所以，得     1分

①當(dāng)時，

             1分

此時，，所以      1分

②當(dāng)時，，   1分

此時，，所以   1分

綜上，在上的反函數(shù)為        1分

（3）由題意，當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，

當(dāng)，，在上也是增函數(shù)，

所以在上是增函數(shù)，               2分

設(shè)，則

由，得

所以在上是減函數(shù)，       2分

由的解析式知      1分

設(shè)

①當(dāng)時，，因為，所以，即；

②當(dāng)時，，滿足題意；

③當(dāng)時，，因為，所以，即

綜上，實數(shù)的取值范圍為                3分

考點：(1)對數(shù)不等式；（2）分段函數(shù)的反函數(shù)；（3）不等式恒成立問題．