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已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上到點A（0，b）距離最遠的點是B（0，-b），則橢圓的離心率的取值范圍為（　　）
A、(0，
6
3
]
B、[
6
3
，1)
C、(0，
2
2
]
D、[
2
2
，1)
分析：設(shè)點P（x，y）是橢圓上的任意一點，利用兩點間的距離公式可得：|PA|2=x2+（y-b）2=a2(1-
y2
b2
)+(y-b)2=-
c2
b2
(y-
-b3
c2
)2+
a4
c2
=f（y），由于橢圓上的點P到點A（0，b）距離最遠的點是B（0，-b），利用二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，可得
-b3
c2
≤-b，即可得出離心率的取值范圍．
解答：解：設(shè)點P（x，y）是橢圓上的任意一點，
則
x2
a2
+
y2
b2
=1，化為x2=a2(1-
y2
b2
)．
∴|PA|2=x2+（y-b）2=a2(1-
y2
b2
)+(y-b)2=-
c2
b2
(y-
-b3
c2
)2+
a4
c2
=f（y），
∵橢圓上的點P到點A（0，b）距離最遠的點是B（0，-b），
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：f（y）在（-b，b）單調(diào)遞減，
∴
-b3
c2
≤-b，
化為c2≤b2=a2-c2，即2c2≤a2，
∴e≤
2
2
．
又e＞0．
∴離心率的取值范圍是(0，
2
2
]．
故選：C．
點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準方程及其性質(zhì)、兩點間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案