Question

已知F為拋物線x²=ay（a＞0）的焦點，O為坐標原點．點M為拋物線上的任一點，過點M作拋物線的切線交x軸于點N，設k₁，k₂分別為直線MO與直線NF的斜率，則k₁k₂=

-

1

2

．

Answer 1

分析：如圖所示，設M(x0，

x 2 0

a

)，利用導數的運算法則可得y′=

2x

a

，利用導數的聚會意義可得切線的斜率為

2x0

a

．利用點斜式可得過點M的拋物線的切線方程，令y=0得點N的橫坐標，利用向量計算公式可得k₂=k_NF，k₁=k_MO．即可得出k₁k₂．

解答：解：如圖所示，設M(x0，

x 2 0

a

)，
∵y′=

2x

a

，∴切線的斜率為

2x0

a

．
則過點M的拋物線的切線方程為：y=

2 x   0

a

(x-x0)+

x 2 0

a

，
令y=0得：xN=

1

2

x0，
可得N(

x0

2

，0)，F(0，

a

4

)，
∴k2=kNF=-

a

2x0

，
又k1=kMO=

x 2 0 a

x0

=

x0

a

，
故k1k2=-

1

2

，
故答案為-

1

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線相切的位置關系、切線的方程、斜率的計算公式、導數的幾何意義等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．