Question

設函數f(x，y)=(1+

m

y

)x(m＞0，y＞0)．
（1）當m=3時，求f（6，y）的展開式中二項式系數最大的項；
（2）若f(4，y)=a0+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

且a₃=32，求

4

i=0

ai；
（3）設n是正整數，t為正實數，實數t滿足f（n，1）=mⁿf（n，t），求證：f(2010，1000

t

)＞3f(-2010，t)．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的二項式系數的性質：展開式中中間項的二項式系數最大
（2）利用二項展開式的通項公式求出a₃列出方程解得m，通過對y賦值1求出展開式的各項系數和
（3）利用已知等式求出m，t的關系，代入不等式的左邊利用二項式的展開式得到左邊＞3，將m，t的關系代入右邊得證．

解答：解：（1）展開式中二項式系數最大的項是第4項=

C

3 6

(

3

y

)3=

540

y3

；
（2）f(4，y)=a0+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

=(1+

m

y

)4，
a₃=C₄³m³=32?m=2，

4

i=0

ai=(1+

2

1

)4=81；
（3）由f（n，1）=mⁿf（n，t）可得(1+m)n=mn(1+

m

t

)n=(m+

m2

t

)n，
即1+m=m+

m2

t

?m=

t

?f(2010，1000

t

)=(1+

m

1000 t

)2010=(1+

1

1000

)2010＞1+

C

1 2010

1

1000

+

C

2 2010

(

1

1000

)2+

C

3 2010

(

1

1000

)3+

C

4 2010

(

1

1000

)4＞1+2+2+

4

3

+

2

3

=7＞1+2=3
而f(-2010，t)=(1+

m

t

)-2010=(1+

1

t

)-2010＜1，
所以f(2010，1000

t

)＞3f(-2010，t)原不等式成立．

點評：本題考查二項展開式的二項式系數的性質、二項展開式的通項公式、賦值法求各項系數和、通過二項式的展開式放縮證不等式．