Question

已知函數f(x)的定義域為R，且f(x)不為常值函數，有以下命題：
①函數g(x)=f(x)＋f(－x)一定是偶函數；
②若對任意都有，則f(x)是以2為周期的周期函數；
③若f(x)是奇函數，且對任意x∈R都有f(x)＋f(2＋x)=0，則f(x)的圖像的對稱軸方程為
x=2n＋1(n∈Z)；
④對任意x₁,x₂∈R且若恒成立，則f(x)為上的增函數.
其中所有正確命題的序號是________________.

Answer 1

①③④

試題分析：①，所以一定是偶函數.
②由得。令可得：，所以f(x)不是以2為周期的周期函數.
③f(x)是奇函數，則…………………………………（1）
由得，即…………………………(2)
由(1)(2)可得：，所以是f(x)的圖像的一條對稱軸方程.
又由得所以是f(x)的圖像的一條對稱軸方程.
又由得，所以函數是以4為周期的周期函數.
所以都是的對稱軸，即x=2n＋1 (n∈Z)是的對稱軸.
④不妨設，則由得即，所以f(x)是上的增函數.