Question

在一個盒子中，放有標號分別為1，2，3的三張卡片，現從這個盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標號分別為x、y，記ξ=|x-2|+|y-x|．
（Ⅰ）求隨機變量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（I）由題意知x、y可能的取值為1、2、3，做出要用的變量ξ的可能取得的最大值，根據等可能事件的概率寫出試驗發生包含的事件數和滿足條件的事件數，求得概率．
（II）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式得到概率，當ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，這個情況比較多，容易出錯，寫出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）∵x、y可能的取值為1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
∴ξ≤3，且當x=1，y=3或x=3，y=1時，ξ=3．
因此，隨機變量ξ的最大值為3．
∵有放回抽兩張卡片的所有情況有3×3=9種，
∴P(ξ=3)=

2

9

．
即隨機變量ξ的最大值為3，事件“ξ取得最大值”的概率為

2

9

．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有取值為0，1，2，3．
∵ξ=0時，只有x=2，y=2這一種情況，
ξ=1時，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四種情況，
ξ=2時，有x=1，y=2或x=3，y=2兩種情況．
∴P(ξ=0)=

1

9

，P(ξ=1)=

4

9

，P(ξ=2)=

2

9

．
∴隨機變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 9	4 9	2 9	2 9

∴數學期望Eξ=0×

1

9

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

2

9

=

14

9

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題，本題是一個比較好的題目，難易程度適當．