Question

如圖，橢圓C：焦點在x軸上，左、右頂點分別為A₁，A，上頂點為B，拋物線C₁，C₂分別以A，B為焦點，其頂點均為坐標原點O，C₁與C₂相交于直線上一點P。

（1）求橢圓C及拋物線C₁，C₂的方程；
（2）若動直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點M，N，已知點，求的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意，A（a，0），，
故拋物線C₁的方程可設為y²=4ax，C₂的方程為
由，得a=4，
所以橢圓C：，
拋物線C₁：y²=16x，拋物線C₂：。
（2）由（1）知，直線OP的斜率為
所以直線l的斜率為
設直線l方程為
由消去y，整理得
因為動直線l與橢圓C交于不同兩點，
所以Δ=128b²-20（8b²-16）>0，
解得
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
 

因為
所以
 

因為，
所以當時，取得最小值，
其最小值等于。