Question

（本小題滿分14分）

已知直角梯形中(如圖1），，為的中點，

將沿折起，使面面（如圖2），點在線段上，.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在四棱錐的棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

 

(1) 略

(2)

(3) 存在的中點，使得平面. 

【解析】

解：（1）依題意知：.

又面面，面面，面，

所以面.                                        …………2分

又因為.

以為原點，建立如圖所示的坐標系，                          …………3分

則.             …………4分

       由于，

所以,

即.                                              …………5分

所以，.

所以.       …………6分

（2）易知為平面的法向量. …………7分

設平面的法向量為，

則即，…………8分

令 則，即.                     …………9分

二面角的平面角為，則.…………10分

（3）方法一：存在的中點，使得：平面，證明如下：

連接，交于，取中點，連.

在△中，分別為中點，則.         …………11分

在△中，分別為中點，則.        …………12分

所以平面平面.

又平面，

所以平面.                                       …………14分

方法二：假設在四棱錐的棱上存在一點，使得平面，不妨設：，                                       …………11分

由，得.                   …………12分

由（2）知平面的法向量，由得.  ……13分

故存在的中點，使得平面.                   …………14分