Question

（本小題滿分12分）

某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室(如圖所示)，ABCD是一塊邊長為50 m的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40 m，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中G、M分別在AB和AD上，H在  上。設矩形AGHM的面積為S，∠HCF=θ，請將S表示為θ的函數，并指出當點H在   的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少？ 

Answer 1

θ=0或θ=

解：延長GH交CD于N，則NH="40" sinθ,CN="40" cosθ 
∴HM="ND=50-40" cosθ,    AM="50-40" sinθ   …………………………2分
故S="(50-40" cosθ)(50-40 sinθ)                …………………………3分
=100［25-20(sinθ+cosθ)+16sinθcosθ］(0≤θ≤)…………………………4分
令t=sinθ+cosθ=sin(θ+)              
則sinθcosθ=且t∈［1, ］         …………………………6分
∴S=100［25-20t+8(t²-1)］=800(t-)²+450   …………………………8分
又t∈［1, ］∴當t=1時，S_max=500 
此時sin(θ+)=1sin (θ+)=      …………………………10分
∵≤θ+≤π  ∴θ+=或π 
即θ=0或θ=                         …………………………12分