Question

在直角坐標系中以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且在兩種坐標系中取相同的長度單位．已知圓C的圓心的極坐標C(1，

π

2

)，半徑r=1，直線l的參數方程為

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數）．
（1）求圓的極坐標方程，并將極坐標方程化成直角坐標方程；
（2）將直線l的參數方程化為普通方程，并判斷直線l與圓C的位置關系．

Answer 1

分析：（1）設圓C上任意一點為M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如圖所示，利用切線的性質可得∠OAM=θ．在Rt△OMA中，OA=2，利用直角三角形的邊角關系MO=AOsinθ．即可得出．
（2）兩式相減即可消去參數t可得直線l的普通方程，由于直線l過圓內一點即可得到直線與圓的位置關系．

解答：解：（1）設圓C上任意一點為M（ρ，θ），A(2，

π

2

)．如圖所示，
在Rt△OMA中，OA=2，由MO=AOsinθ得ρ=2sinθ．
化為直角坐標方程x²+（y-1）²=1．（或x²+y²-2y=0．）
（2）由直線l的參數方程為

x=1+ 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t為參數）．消去參數t可得x-1=y-2，得直線l的普通方程x-y+1=0．
∵圓心C（0，1）滿足直線l的方程，
∴直線與圓C相交．

點評：熟練掌握直線圓相切的性質、極坐標方程化為直角坐標方程的公式、直線與圓的位置公式的判定方法等是解題的關鍵．