Question

（本題滿分12分）
已知函數（）．
（1）當時，求函數在上的最大值和最小值；
（2）當函數在單調時，求的取值范圍；
（3）求函數既有極大值又有極小值的充要條件。

Answer 1

（1）函數在最大值是，函數在上的最小值為。
（2）的取值范圍是。
（3）函數既有極大值又有極小值的充要條件。

（1）時，，
函數在區間僅有極大值點，故這個極大值點也是最大值點，
故函數在最大值是，
又，故，
故函數在上的最小值為。   ……………4分
（2），令，則，
則函數在遞減，在遞增，由，，
，故函數在的值域為。
若在恒成立，即在恒成立，
只要，若要在在恒成立，即在恒成立，
只要。即的取值范圍是。 ……………8分
（3）若既有極大值又有極小值，則首先必須有兩個不同正根，
即 有兩個不同正根。
故應滿足，
∴當時，有兩個不等的正根，不妨設，
由知：時，時，時，
∴當時既有極大值又有極小值．
反之，當時，有兩個不相等的正根，
故函數既有極大值又有極小值的充要條件。  ……………12分