Question

下列幾個命題：
①不等式

3

x-1

＜x+1的解集為{x|x＜-2，或x＞2}；
②已知a，b均為正數，且

1

a

+

4

b

=1，則a+b的最小值為9；
③已知m²+n²=4，x²+y²=9，則mx+ny的最大值為

13

2

；
④已知x，y均為正數，且x+3y-2=0，則3^x+27^y+1的最小值為7；
其中正確的有

②，④

．（以序號作答）

Answer 1

分析：①不等式

3

x-1

＜x+1的解集為{x|-2＜x＜1，或x＞2}；
②由a，b均為正數，且

1

a

+

4

b

=1，知a+b=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=5+

4a

b

+

b

a

≥5+2

4a b • b a

=9；
③由m²+n²=4，x²+y²=9，設

m=2sinα n=2cosα

，

x=3sinβ y=3cosβ

，則mx+ny=6sinαsinβ+6cosαcosβ=6cos（α-β），故mx+ny的最大值為6；
④由x，y均為正數，且x+3y-2=0，知3^x+27^y+1≥2

33x•33y

+1=7．

解答：解：不等式

3

x-1

＜x+1的解集為{x|-2＜x＜1，或x＞2}，故①不成立；
∵a，b均為正數，且

1

a

+

4

b

=1，
a+b=（

1

a

+

4

b

）（a+b）=5+

4a

b

+

b

a

≥5+2

4a b • b a

=9，故②正確；
∵m²+n²=4，x²+y²=9，
∴設

m=2sinα n=2cosα

，

x=3sinβ y=3cosβ

，
則mx+ny=6sinαsinβ+6cosαcosβ=6cos（α-β），
∵-1≤cos（α-β）≤1，
∴mx+ny的最大值的最大值為6，故③不正確；
④∵x，y均為正數，且x+3y-2=0，
∴3^x+27^y+1≥2

33x•33y

+1=7，故④正確．
故答案為：②④．

點評：本題考查真假命題的判斷，解題時要注意不等式、均值定理、三角函數等知識點的靈活運用．