Question

（2013•天津一模）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長軸長是短軸長的兩倍，且過點C（2，1），點C關于原點O的對稱點為點D．
（I）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）點P在橢圓E上，直線CP和DP的斜率都存在且不為0，試問直線CP和DP的斜率之積是否為定值？若是，求此定值；若不是，請說明理由：
（Ⅲ）平行于CD的直線l交橢圓E于M，N兩點，求△CMN面積的最大值，并求此時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓長軸長是短軸長的兩倍設出橢圓的方程，把點C的坐標代入橢圓方程可求解b，則橢圓的方程可求；
（Ⅱ）設出P點的坐標，寫出直線CP和DP的斜率，由點P在橢圓上得到P點橫縱坐標的關系式，代入斜率乘積的表達式整理可得直線CP和DP的斜率之積為定值；
（Ⅲ）由直線l平行于CD，設出直線l的斜截式方程，和橢圓方程聯立后求出弦MN的長度，由點到直線的距離公式求出C到MN的距離，代入面積公式后利用基本不等式求最大值，并求出使面積最大時的直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵2a=2•2b，∴a=2b．
設橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
橢圓E過點C（2，1），
代入橢圓方程得

22

4b2

+

1

b2

=1，解得b=

2

，則a=2

2

，
所以所求橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）依題意得D（-2，-1）在橢圓E上．
CP和DP的斜率K_CP和K_DP均存在．
設P（x，y），則kCP=

y-1

x-2

，kDP=

y+1

x+2

，
kCP•kDP=

y-1

x-2

•

y+1

x+2

=

y2-1

x2-4

①
又∵點P在橢圓E上，
∴

x2

8

+

y2

2

=1，∴x²=8-4y²，代入①得，
kCP•kDP=

y2-1

x2-4

=

y2-1

8-4y2-4

=-

1

4

．
所以CP和DP的斜率K_CP和K_DP之積為定值-

1

4

（Ⅲ）CD的斜率為

1

2

，∵CD平行于直線l，∴設直線l的方程為y=

1

2

x+t．
由

y= 1 2 x+t x2 8 + y2 2 =1

，
消去y，整理得x²+2tx+（2t²-4）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

△=4t2-4(2t2-4)=4(4-t2)＞0 x1+x2=-2t x1•x2=2t2-4

，得|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+( 1 2 )2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5 4

•

4t2-4(2t2-4)

=

5

•

4-t2

(-2＜t＜2)．
d=

|t|

1+ 1 4

=

2|t|

5

．
所以，S=

1

2

|MN|•d=

1

2

5

4-t2

•

2|t|

5

=|t|•

4-t2

=

t2(4-t2)

≤

4

2

=2
當且僅當t²=4-t²時取等號，即t²=2時取等號
所以△MNC面積的最大值為2．
此時直線l的方程y=

1

2

x±

2

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了利用弦長公式求弦長，考查了利用基本不等式求最值，是有一定難度題目．